۱_ می‌خواهیم یک قاب مستطیلی به طول ۱۶ و عرض ۱۲ سانتی‌متر را با کاشی‌های مربعی پر کنیم.
- ضلع این کاشی‌های مربعی چه عددهایی می‌تواند باشد؟ چرا؟
- اگر بخواهیم کاشی‌های مصرف شده کمترین تعداد باشد (ضلع کاشی باید بزرگ باشد)، چه عددی برای ضلع کاشی مناسب است؟ چرا؟
- اگر بخواهیم کاشی‌های مصرف شده بیشترین تعداد باشد (ضلع کاشی کوچک‌ترین عدد باشد)، چه عددی برای ضلع کاشی مناسب است؟ چرا؟
این مسئله به مفهوم شمارنده‌های مشترک دو عدد می‌پردازد.
- **اندازه‌های ممکن برای ضلع کاشی:**
برای اینکه قاب به طور کامل و بدون شکستن کاشی‌ها پوشانده شود، طول ضلع کاشی مربع باید عددی باشد که هم طول قاب ($۱۶$) و هم عرض آن ($۱۲$) بر آن بخش‌پذیر باشند. به عبارت دیگر، ضلع کاشی باید **شمارنده مشترک** ۱۶ و ۱۲ باشد.
- شمارنده‌های ۱۶: $\{۱, ۲, ۴, ۸, ۱۶\}$
- شمارنده‌های ۱۲: $\{۱, ۲, ۳, ۴, ۶, ۱۲\}$
- **شمارنده‌های مشترک:** $۱, ۲, ۴$
بنابراین ضلع کاشی می‌تواند **۱، ۲ یا ۴ سانتی‌متر** باشد.
- **ضلع مناسب برای کمترین تعداد کاشی:**
برای استفاده از کمترین تعداد کاشی، باید از **بزرگ‌ترین کاشی ممکن** استفاده کنیم. این یعنی بزرگ‌ترین ضلع ممکن که شمارنده مشترک هر دو عدد ۱۶ و ۱۲ است. این عدد همان **بزرگ‌ترین شمارنده مشترک (ب.م.م)** است.
**پاسخ:** ضلع **۴ سانتی‌متری** مناسب است.
- **ضلع مناسب برای بیشترین تعداد کاشی:**
برای استفاده از بیشترین تعداد کاشی، باید از **کوچک‌ترین کاشی ممکن** استفاده کنیم. این یعنی کوچک‌ترین ضلع ممکن که شمارنده مشترک ۱۶ و ۱۲ است.
**پاسخ:** ضلع **۱ سانتی‌متری** مناسب است.
۱_ با نوشتن تمام شمارنده‌های دو عدد، ب.م.م. آنها را پیدا کنید.
برای پیدا کردن بزرگ‌ترین شمارنده مشترک (ب.م.م) دو عدد با این روش، ابتدا تمام شمارنده‌های هر دو عدد را می‌نویسیم، سپس شمارنده‌های مشترک را مشخص کرده و در نهایت بزرگ‌ترین آنها را انتخاب می‌کنیم.
- **ب.م.م (۲۰ و ۳۰):**
- شمارنده‌های ۲۰: $\{۱, ۲, ۴, ۵, \boldsymbol{۱۰}, ۲۰\}$
- شمارنده‌های ۳۰: $\{۱, ۲, ۳, ۵, ۶, \boldsymbol{۱۰}, ۱۵, ۳۰\}$
- شمارنده‌های مشترک: $\{۱, ۲, ۵, ۱۰\}$
- **بزرگ‌ترین شمارنده مشترک:** ۱۰
$$(۲۰, ۳۰) = ۱۰$$
- **ب.م.م (۱۲ و ۴۰):**
- شمارنده‌های ۱۲: $\{۱, ۲, ۳, \boldsymbol{۴}, ۶, ۱۲\}$
- شمارنده‌های ۴۰: $\{۱, ۲, \boldsymbol{۴}, ۵, ۸, ۱۰, ۲۰, ۴۰\}$
- شمارنده‌های مشترک: $\{۱, ۲, ۴\}$
- **بزرگ‌ترین شمارنده مشترک:** ۴
$$(۱۲, ۴۰) = ۴$$
۲_ با تجزیهٔ عددها به شمارنده‌های اول، ب.م.م. دو عدد را پیدا کنید.
در این روش، ابتدا هر عدد را به شمارنده‌های اول تجزیه می‌کنیم. سپس، **شمارنده‌های اول مشترک** را با **کمترین توان** در هم ضرب می‌کنیم تا ب.م.م به دست آید.
- **ب.م.م (۲۴ و ۳۰):**
- تجزیه ۲۴: $۲۴ = ۲ \times ۱۲ = ۲ \times ۲ \times ۶ = ۲ \times ۲ \times ۲ \times ۳ = \boldsymbol{۲^۳ \times ۳}$
- تجزیه ۳۰: $۳۰ = ۳ \times ۱۰ = \boldsymbol{۳ \times ۲ \times ۵}$
- شمارنده‌های اول مشترک: **۲ و ۳** (با کمترین توان‌های ۱)
- **ب.م.م:** $۲^۱ \times ۳^۱ = ۶$
$$(۲۴, ۳۰) = ۶$$
- **ب.م.م (۳۶ و ۴۸):**
- تجزیه ۳۶: $۳۶ = ۴ \times ۹ = \boldsymbol{۲^۲ \times ۳^۲}$
- تجزیه ۴۸: $۴۸ = ۶ \times ۸ = (۲ \times ۳) \times (۲ \times ۲ \times ۲) = \boldsymbol{۲^۴ \times ۳}$
- شمارنده‌های اول مشترک: **۲** (با کمترین توان ۲) و **۳** (با کمترین توان ۱)
- **ب.م.م:** $۲^۲ \times ۳^۱ = ۴ \times ۳ = ۱۲$
$$(۳۶, ۴۸) = ۱۲$$
۲_ یک جعبهٔ دستمال کاغذی به شکل مکعب مستطیل داریم که طول آن ۲۵، عرض آن ۱۲ و ارتفاعش ۵ سانتی‌متر است. تعیین کنید چند عدد از این جعبه‌ها در یک کارتن مکعب مستطیل به ابعاد ۵۰، ۲۴ و ۳۰ سانتی‌متر جا می‌گیرد؟ در این مسئله ابعاد کارتن چه ارتباطی با ابعاد جعبهٔ دستمال دارد؟
برای پیدا کردن تعداد جعبه‌های دستمال کاغذی که در کارتن جا می‌گیرد، باید ببینیم در هر یک از ابعاد (طول، عرض، ارتفاع) چند جعبه قرار می‌گیرد و سپس این تعداد را در هم ضرب کنیم.
**ارتباط ابعاد:**
ابعاد کارتن، مضرب صحیحی از ابعاد جعبه دستمال هستند.
- **در راستای طول:** $۵۰ \div ۲۵ = ۲$ (۲ جعبه جا می‌شود)
- **در راستای عرض:** $۲۴ \div ۱۲ = ۲$ (۲ جعبه جا می‌شود)
- **در راستای ارتفاع:** $۳۰ \div ۵ = ۶$ (۶ جعبه جا می‌شود)
**محاسبه تعداد کل جعبه‌ها:**
تعداد کل جعبه‌ها برابر با حاصل‌ضرب تعداد جعبه‌ها در هر سه راستا است.
$$\text{تعداد کل} = (\text{تعداد در طول}) \times (\text{تعداد در عرض}) \times (\text{تعداد در ارتفاع})$$
$$\text{تعداد کل} = ۲ \times ۲ \times ۶ = ۲۴$$
بنابراین، **۲۴** عدد جعبه دستمال کاغذی در این کارتن جا می‌گیرد.
